Pascal Üçgeni

Gizemli bir Üçgen

(Pascal Üçgeni)

Şekil 1

1653 yılında yazmış olduğu bir kitap nedeniyle, batı literatüründe Ünlü Fransız düşünür ve matematikçi Blaise Pascal’a atfedilen bu gizemli üçgenin, Pascal’dan 700 yıl önce Çinliler tarafından bilindiği ortaya çıkmıştır.Literatüre girdiği adla çağıracağımız Pascal üçgeni gerçekten gizemli özeliklere sahiptir. Bu özeliklerin bir kısmının elde edilişini birer zeka oyunu olarak görebiliriz. Ama onlar, oyun olmanın ötesinde cebir, geometri, olasılık, kaos gibi birbirleriyle ilişkisiz görünen bilim dallarında beklenmedik sonuçlar yaratmaktadır.

Pascal Üçgenini Oluşturmak

Şekil 2

Pascal üçgenini oluşturmak çok kolaydır. 1.Şekilde görüldüğü gibi, bir eşkenar üçgenin tepesine 1 yazılır. Biraz sonra anlaşılacak bir nedenle, buna 0-ıncı satır diyelim. Bunun altına 1  sayılarını birinci satır olarak, gene şekildeki gibi yerleştirelim.  İkinci satıra  1 , 2 , 1  ve üçüncü satıra  1 ,  3 ,  3 ,  1   sayılarını yerleştirelim.  Bu işleme durmaksızın devam edebilmek için, üçgene sayı yerleştirme kuralını çıkaralım. 1.Şekle dikkat edersek, herhangi bir satırı yerleştirirken uyulan kuralı hemen  görebiliriz.  Satırdaki her öğe, üst satırda kendisine göre sol üstünde ve sağ üstünde yer alan iki sayının toplamıdır ve o ikisinin konumlarına göre orta dikme üzerindedir (2.Şekil). Her satırın en solundaki ve en sağındaki sayılar daima  1 dir ve aynı kuralla bulunurlar. Sol kenar üzerindeki 1 lerin sol üst köşelerinde, sağdaki 1 lerin ise sağ üst köşelerinde sayı yoktur. Olmayan sayıları 0 sayarsak, genel kuralın kenardaki sayılar için de geçerli olduğu anlaşılır. Her satır ekleyişte yeni bir eşkenar üçgen ortaya çıkar. Bu işleme durmaksızın devam edebiliriz. Dolayısıyla, kenarlar sonsuz tane sayı içerecek kadar büyüyebilir. Ama her adımda bize sonlu tane sayı içeren bir eşkenar üçgen verir. O sonlu sayılar arasında harika ilişkiler ortaya çıkar.