Pascal Üçgeni

Gizemli bir Üçgen

(Pascal Üçgeni)

Şekil 1

1653 yılında yazmış olduğu bir kitap nedeniyle, batı literatüründe Ünlü Fransız düşünür ve matematikçi Blaise Pascal’a atfedilen bu gizemli üçgenin, Pascal’dan 700 yıl önce Çinliler tarafından bilindiği ortaya çıkmıştır.Literatüre girdiği adla çağıracağımız Pascal üçgeni gerçekten gizemli özeliklere sahiptir. Bu özeliklerin bir kısmının elde edilişini birer zeka oyunu olarak görebiliriz. Ama onlar, oyun olmanın ötesinde cebir, geometri, olasılık, kaos gibi birbirleriyle ilişkisiz görünen bilim dallarında beklenmedik sonuçlar yaratmaktadır.

Pascal Üçgenini Oluşturmak

Şekil 2

Pascal üçgenini oluşturmak çok kolaydır. 1.Şekilde görüldüğü gibi, bir eşkenar üçgenin tepesine 1 yazılır. Biraz sonra anlaşılacak bir nedenle, buna 0-ıncı satır diyelim. Bunun altına 1  sayılarını birinci satır olarak, gene şekildeki gibi yerleştirelim.  İkinci satıra  1 , 2 , 1  ve üçüncü satıra  1 ,  3 ,  3 ,  1   sayılarını yerleştirelim.  Bu işleme durmaksızın devam edebilmek için, üçgene sayı yerleştirme kuralını çıkaralım. 1.Şekle dikkat edersek, herhangi bir satırı yerleştirirken uyulan kuralı hemen  görebiliriz.  Satırdaki her öğe, üst satırda kendisine göre sol üstünde ve sağ üstünde yer alan iki sayının toplamıdır ve o ikisinin konumlarına göre orta dikme üzerindedir (2.Şekil). Her satırın en solundaki ve en sağındaki sayılar daima  1 dir ve aynı kuralla bulunurlar. Sol kenar üzerindeki 1 lerin sol üst köşelerinde, sağdaki 1 lerin ise sağ üst köşelerinde sayı yoktur. Olmayan sayıları 0 sayarsak, genel kuralın kenardaki sayılar için de geçerli olduğu anlaşılır. Her satır ekleyişte yeni bir eşkenar üçgen ortaya çıkar. Bu işleme durmaksızın devam edebiliriz. Dolayısıyla, kenarlar sonsuz tane sayı içerecek kadar büyüyebilir. Ama her adımda bize sonlu tane sayı içeren bir eşkenar üçgen verir. O sonlu sayılar arasında harika ilişkiler ortaya çıkar.   

   

Blaise Pascal

Blaise Pascal Kimdir? (d. 19 Haziran 1623 – ö. 19 Ağustos 1662). Fransız matematikçi, fizikçi ve düşünürdür. En bilinen eseri "Düşünceler"dir. Pascal (1623-1662) küçük yaşta kendini gösteren bir deha örneğidir. Henüz 12 yaşında iken hiç geometri bilgisine sahip olmadığı halde daireler ve eşkenar üçgenler çizmeye başlayarak, bir üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu kendi kendisine bulmuştur; çünkü avukat olan ve matematik ile çok ilgilenen babası, onun Latince ve Yunancayı iyice öğrenmeden matematiğe yönelmesini istemediğinden, bütün matematik kitaplarını saklayarak Pascal'ın bu konu ile ilgilenmesini yasaklamıştı. Pascal çocukluğunda "geometri neyi inceler?" sorusunu babasına sormuş, o da "doğru biçimde şekiller çizmeyi ve şekillerin kısımları arasındaki ilişkileri inceler." demiştir. Pascal, işte bu cevaba dayanarak gizli gizli geometri teoremleri kurmaya ve kanıtlamaya başlamıştır. Sonunda babası onun yeteneğini anlamış ve ona Euclides'in Elementler'ini ve Apollonius'un Konikler'ini vermiştir. Dil derslerinden arta kalan boş zamanını bu kitapları okuyarak değerlendiren Pascal, 16 yaşında konikler üzerine bir eser yazmıştır. Bu eserin mükemmelliği karşısında, Descartes bunun Pascal kadar genç bir kimsenin eseri olduğuna inanmakta çok güçlük çekmiştir. Pascal 19 yaşındayken, aritmetik işlemlerini mekanik olarak yapan bir hesap makinesi icat etmiştir. Pascal yalnızca teorik bilimlerde değil, pratik ve deneysel bilimlerde de yetenekli bir filozoftu. 23 yaşında, Torriçelli'nin (1608-1647) atmosfer basıncı ile ilgili çalışmasını incelemiş ve bir dağa çıkartılan barometredeki cıva sütununun düştüğünü, yani yükseklerde hava basıncının azaldığını, cıva sütununu hava basıncının tuttuğunu, yoksa Aristotelesçilerin söylediği gibi, tabiatın boşluktan nefret etmesinin rolü olmadığını göstermiştir. Diş ağrısından uyuyamadığı bir gece de rulet oyunu ve sikloid ile ilgili düşünceler üzerinde durmuş ve sikloid eğrisinin özelliklerini keşfetmiştir. Pascal, Fermat ile yazışarak olasılık teorisini kurmuş ve bir binom açılımında katsayıları vermiştir. "Pascal Üçgeni"nin keşfi de ona aittir. Daha detaylı bilgi için tıklayınız.

Pisagor Ağacı

İkizkenar dik üçgenin kenarlarına kenarlarla orantılı karelerin çizilmesiyle oluşturulmuş ağaçtır. 
Hem Pisagor bağıntısının ispatı için, hem de fraktallar için güzel bir uygulamadır. 

Pisagor Teoremi

Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır.

Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler. Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir. Pisagor teoremine göre bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.

Pisagor

Pisagor Kimdir ?

Pisagor ya da Pythagoras MÖ 570 - MÖ 495 tarihleri arasında yaşamış olan İyonyalı filozof, matematikçi ve Pisagorculuk olarak bilinen akımın kurucusudur.

En iyi bilinen önermesi, kendi adıyla anılan Pisagor önermesidir. "Sayıların babası" olarak bilinir. Pisagor ve öğrencileri her şeyin matematikle ilgili olduğuna, sayıların nihai gerçek olduğuna, matematik aracılığıyla her şeyin tahmin edilebileceğine ve ölçülebileceğine inanmışlardır.

Kendisini filozof, yani bilgeliğin dostu olarak adlandıran ilk kişiydi. Pisagor, düşüncelerini yazıya dökmediği için onun hakkında bildiklerimiz öğrencilerinin yazılarında anlattıklarıyla sınırlıdır. Pisagor'a atfedilen birçok eser gerçekte onun öğrencilerinin olabilir.

Pisagor'un hayatını detaylı okumak için tıklayınız.